Primeiro termo

01/02/2013

Teoria dos conjuntos numéricos

Divisibilidade

Um número N é divisível por um número p quando a divisão de N por p possuir no quociente um número natural e zero para resto.

Critérios de divisibilidade

Em muitas situações precisamos apenas descobrir se um número é divisível por outro, sem a necessidade de sabermos o quociente da divisão entre eles. Neste caso utilizamos algumas regras ou mecanismos conhecidos como critérios de divisibilidade.

Divisibilidade por 2

Um número é divisível por 2 quando o algarismo das unidades  for 0, 2, 4, 6 ou 8. 

Assim, um número é divisível por 2 quando ele for par. Todo número par é múltiplo de 2. 

Ex.: 1258 é divisível por 2, já que o algarismo das unidades é 8.  1258 é divisível por 2, ou seja, 1258 é múltiplo de 2.

Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos gerar um número divisível por 3.

Ex.: 138 é divisível por 3, já que 1 + 3 + 8 = 12, e 12  é divisível por 3. Com isso: 138 é divisível por 3, ou seja, 138 é múltiplo de 3.

Divisibilidade por 4

Um número é divisível por 4 quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita der um número divisível por 4. 

Ex.: 2132 é divisível por 4, já que o número 32 é um múltiplo de 4. Com isso: 2132 é divisível por 4, ou seja,  2132 é múltiplo de 4.

Divisibilidade por 5

Um número é divisível por 5 quando seu algarismo das unidades for 0 ou 5.

Ex.: 3040 é divisível por 5, já que termina em 0. Com isso: 3040 é divisível por 5,  ou seja, 3040 é múltiplo de 5. 

Ex.:  245 é divisível por 5, já que termina em 5. Com isso: 245 é divisível por 5,  ou seja, é múltiplo de 5. 

Divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e também por 3.

Ex.:  164 928 é par, divisível por 2. A soma dos algarismos resulta em 30, divisível por 3. Assim, 164928 é divisível por 6.

Divisibilidade por 7

Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7.

Ex.: 165928 é divisível por 7.

Divisibilidade por 8

Um número é divisível por 8 quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita formar um número divisível por 8.

Ex.: 5 432 é divisível por 8, já que o número 432 é divisível por 8. Assim, 5 432 é divisível por 8, ou seja, 5 432 é múltiplo de 8.

Divisibilidade por 9

Um número é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos gerar um número divisível por 9.

Ex.: 6 975 é divisível por 9, já que  6 + 9 + 7 + 5 = 27, e 27 é divisível por 9. Assim, 6 975 é divisível por 3,  ou seja, 6 975 é múltiplo de 9.

Divisibilidade por 10

Um número é divisível por 10 quando seu algarismo das unidades for 0.

Ex.: 240 é divisível por 10, já que 240 termina em 0. Assim, 240 é divisível por 10,  ou seja, 240 é múltiplo de 10.

Divisibilidade

05/02/2013

Números Primos

Por definição, os números primos são números pertencentes ao conjunto dos números naturais não nulos, que possuem exatamente apenas dois divisores naturais distintos, o número 1 e o próprio número, que produzem como resultado um número também natural, ou seja, a divisão será exata com resto igual a zero.

Segundo esta definição o número 1 não é um número primo, pois o mesmo não apresenta dois divisores distintos.
O número 2 é o único número primo par, já que todos os demais números pares possuem ao menos 3 divisores, dentre eles a unidade, o próprio número e o número 2.

Números naturais não nulos que possuem mais de dois divisores são chamados de números compostos.

Como identificar se um número é primo?
Há várias formas, mas um dos procedimentos mais simples, ainda que trabalhoso, é o seguinte:Vá testando a divisibilidade do número por cada um dos números primos, iniciando em 2, até que a divisão tenha resto zero ou que o quociente seja menor ou igual ao número primo que se está testando como divisor.
Vamos testar se o número 17 é primo ou não:

• 17 : 2 = 8, resta 1;
• 17 : 3 = 5, restam 2;
• 17 : 5 = 3, restam 2.

Neste ponto já podemos ter a certeza de que o número 17 é primo, pois nenhum dos divisores primos testados produziu resto 0 e o quociente da divisão pelo número primo 5 é igual a 3 que é menor que o divisor 5.

Vejamos agora se o número 29 é primo ou não:

• 29 : 2 = 14, resta 1;
• 29 : 3 = 9, restam 2;
• 29 : 5 = 5, restam 4.

Como neste ponto quociente da divisão de 29 pelo número primo 5 é igual ao próprio divisor 5, podemos então afirmar com certeza que o número 29 é primo, pois nenhum dos divisores primos testados resultou em uma divisão exata.

E o número 91 é primo? Vamos testar:

• 91 : 2 = 45, resta 1;
• 91 : 3 = 30, resta 1;
• 91 : 5 = 18, resta 1;
• 91 : 7 = 13, resta 0.

Como no último teste a divisão foi exata, restando zero, concluímos que o número 91 não é um número primo, de fato ele possui 4 divisores distintos: 1, 7, 13 e 91.

Fatores Primos

A decomposição de um número natural em um produto de fatores primos de chamada de fatoração.A fatoração de qualquer número natural primo resultará no próprio número. A fatoração do número primo 73, por exemplo, não resultará em outro número senão ao próprio número 73.A fatoração de qualquer número natural composto resultará em um produto de 2 ou mais fatores primos.Observe que um mesmo fator primo pode ocorrer mais de uma vez. Quando isto acontece o representamos na forma de uma potência cujo expoente é o número de ocorrências do tal fator e a base é o próprio fator.Vejamos o número 147, por exemplo. Ele pode ser decomposto nos seguintes fatores primos:

• 3
• 7
• 7

Ou seja, 147 decomposto em fatores primos é igual a 3 . 7².

Método para a Decomposição em Fatores Primos    
Para realizarmos a decomposição de um número em fatores primos, devemos procurar pelo menor número primo capaz de dividi-lo (divisão exata) e realizarmos a sua divisão por este número enquanto for possível. Depois devemos procurar pelo próximo número primo capaz de dividi-lo e continuar neste procedimento até que o quociente da divisão resulte em 1. Neste momento teremos todos os fatores primos que compõe tal número.

Tomemos como exemplo o número 360. O primeiro número primo capaz de dividi-lo é o número 2:

Note que à esquerda da barra colocamos o número que estamos fatorando e todos os quocientes que vamos encontrando durante o processo. À direita dela, vamos colocando todos os divisores primos que causam a divisão exata.

O quociente 180 ainda é divisível por 2, por isto ele será utilizado novamente como divisor:

90 continua sendo divisível por 2, logo dividimos novamente por 2:

45 não é mais divisível por 2 e o próximo número primo capaz de dividi-lo sem deixar resto é o número 3:

15 também é divisível por 3:

5 não é divisível por 3 e o próximo número primo capaz de dividi-lo é o próprio número 5:

Neste momento chegamos finalmente ao quociente 1. Temos então que o número 360 pode ser decomposto nos seguintes fatores primos:

2, 2, 2, 3, 3 e 5.

Podemos dizer então que: 360 = 2³ . 3² . 5



Múltiplos de um número natural e o M.M.C.

Múltiplos.
Os múltiplos são aqueles números que podem ser divididos pelo número dado.
Como 24 é divisível por 3 dizemos que 24 é múltiplo de 3.

24 também é múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.

Se um número é divisível por outro, diferente de zero, então dizemos que ele é múltiplo desse outro.

Os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número pelos números naturais.

        Exemplo: os múltiplos de 7 são:
                            7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 , ...  =  0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ...

        Observações importantes:
        1.  Um número tem infinitos múltiplos
         2. Zero é múltiplo de qualquer número natural

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.)

Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles.

Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6:

Múltiplos de 6:  0, 6, 12, 18, 24, 30,...

Múltiplos de 4:  0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,...

Múltiplos comuns de 4 e 6:  0, 12, 24,...

Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum de 4 e 6.

O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferentes de zero, é chamado de Mínimo Múltiplo Comum desses números. Abreviamos por M.M.C.

CÁLCULO DO M.M.C.

• PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA

Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo, num dispositivo como mostra a figura ao lado. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números. Ao lado vemos o cálculo do m.m.c.(15,24,60)Portanto,  m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5              m.m.c.(15,24,60) = 120